Mouvement Moyenne Polynomial Ma Doit Être Inversible

Énoncé du problème: Pour chacun des modèles de l'exercice 3.1 et aussi pour les modèles suivants, indiquez s'il s'agit (a) d'un système stationnaire (b) inversible. Solution: Ce sont tous des modèles ARMA, donc la stationnarité tient si et seulement si les racines de l'équation AR sont toutes en dehors du cercle unitaire, et l'invertibilité si et seulement si les racines de l'équation MA sont toutes en dehors du cercle unitaire. Note: Les auteurs écrivent tout le temps pour souligner que vous devez prendre la moyenne pour ces modèles. Nous allons simplement écrire Z t et supposons que tout est moyen. La racine (s) de l'équation caractéristique autorégressive est (sont), en dehors du cercle unitaire. Par conséquent, le processus est stationnaire. Les racines de l'équation caractéristique moyenne mobile forment un ensemble vide, donc toutes les racines sont vides à l'extérieur du cercle unitaire. En d'autres termes (dans la langue utilisée dans la leçon), il n'y a pas de racines de on ou in the unit circle. Par conséquent, le processus est inversible. La ou les racines de l'équation caractéristique autorégressive forment un ensemble vide, donc toutes les racines sont vides à l'extérieur du cercle unitaire. En d'autres termes (dans la langue utilisée dans la leçon), il n'y a pas de racines de on ou in the unit circle. Par conséquent, le processus est stationnaire. Les racines de l'équation caractéristique moyenne mobile peuvent être déterminées par affacturage: Les deux racines sont en dehors du cercle unitaire. Par conséquent, le processus est inversible. La racine de l'équation caractéristique autorégressive est, en dehors du cercle unitaire. Par conséquent, le processus est stationnaire. L'opérateur de moyenne mobile est le même que dans le modèle 2, donc le processus est inversible. Les racines de l'équation caractéristique autorégressive Le module au carré de ces racines conjuguées complexes se trouve en dehors du cercle unitaire. Par conséquent, le processus est stationnaire. Rappelons que le produit des racines réciproques est le module au carré et égal au coefficient de v 2, soit 0,6 dans ce cas, donc le module Carré est de 10,6 gt 1.) Le processus est inversible comme dans le modèle 1. La racine de l'équation caractéristique autorégressive est, sur le cercle unitaire. Par conséquent, le processus n'est pas stationnaire. La racine du polynôme caractéristique de la moyenne mobile est v 2, en dehors du cercle unitaire. Par conséquent, le processus est inversible. La racine de l'équation caractéristique autorégressive est, sur le cercle unitaire. Par conséquent, le processus n'est pas stationnaire. Les racines de l'équation caractéristique moyenne mobile peuvent être déterminées par affacturage: Estimation d'un processus de moyenne mobile non inversible. Le cas de la surdifférence Charles I. Plosser École d'études supérieures d'affaires, Stanford, CA 94305, États-Unis G. William Schwert École d'études supérieures de la gestion, Université de Rochester, Rochester, NY 14627, Etats-Unis Disponible en ligne 1 mars 2002The effect of differencing all Des variables dans une équation de régression correctement spécifiée est examinée. L'utilisation excessive de la transformation de différence induit un processus de moyenne mobile non inversible (MA) dans les perturbations de la régression transformée. Les techniques de Monte Carlo sont utilisées pour examiner les effets de la surdifférenciation sur l'efficacité des estimations des paramètres de régression, les inférences basées sur ces estimations et les tests de surdifférenciation basés sur l'estimateur du paramètre MA pour les perturbations de la régression des différences. Dans l'ensemble, le problème de la surdifférenciation n'est pas grave si l'on accorde une attention particulière aux propriétés des perturbations des équations de régression. Nous tenons à remercier John Abowd, Mukhtar Ali, Kenneth Gaver, Martin Geisel, Charles Nelson, David Pierce, Harry Roberts, Christopher Sims, William Wecker et Arnold Zellner, bien que nous soyons responsables des erreurs restantes. La participation de Plossers à cette recherche a été partiellement soutenue par la Fondation nationale de la science, la Subvention SOC 7305547 et la H. G.B. Alexander à l'Université de Chicago. Une version antérieure de cet article a été présentée devant la Société Econométrique en septembre 1976 à Atlantic City, New Jersey. Les modèles présentés jusqu'à présent sont basés sur l'hypothèse de stationnarité, c'est-à-dire que la moyenne et la variance du processus sous-jacent sont constantes et que les autocovariances ne dépendent que du décalage temporel. Mais beaucoup de séries chronologiques économiques et commerciales ne sont pas stationnaires. Les séries temporelles non stationnaires peuvent se produire de différentes façons. En particulier, les séries chronologiques économiques montrent généralement des variations temporelles, (voir le graphique (b) de la figure 4.1) et / ou des variances (voir le graphique (c) de la figure 4.1). 4.3.1 Nonstationnaire dans la variance Quand une série temporelle n'est pas stationnaire en variance, nous avons besoin d'une transformation de stabilisation de la variance appropriée. Il est très fréquent que la variance d'un processus non stationnaire change à mesure que son niveau change. Supposons donc que la variance du processus soit: pour une certaine constante positive et une fonction connue. L'objectif est de trouver une fonction telle que la série transformée ait une variance constante. Développer dans une série de Taylor de premier ordre autour de: où est la première dérivée d'évaluée à. La variance de peut être approximée comme: Ainsi, la transformation doit être choisie de sorte que: Par exemple, si l'écart-type d'une série est proportionnel à son niveau, alors et la transformation doit satisfaire. Cela implique que . Par conséquent, une transformation logarithmique de la série donnera une variance constante. Si la variance d'une série est proportionnelle à son niveau, de sorte qu'une transformation de racine carrée de la série donnera une variance constante. Plus généralement, pour stabiliser la variance, on peut utiliser la transformation de puissance introduite par Box et Cox (1964). Où est appelé le paramètre de transformation. Il convient de noter que, fréquemment, la transformation de Box-Cox non seulement stabilise la variance, mais améliore également l'approximation de la normalité du processus. 4.3.2 La non-stationnarité dans la moyenne L'une des caractéristiques dominantes de nombreuses séries chronologiques économiques et commerciales est la tendance. La tendance est une évolution lente et à long terme des variables que nous voulons modéliser. Dans les séries chronologiques des affaires, de l'économie et des finances, la tendance est habituellement produite par l'évolution lente des préférences, des technologies et des données démographiques. Ce comportement de tendance peut être ascendant ou descendant, abrupt ou non, et exponentiel ou approximativement linéaire. Avec un tel schéma de tendance, une série chronologique est non stationnaire, il ne montre pas une tendance de la réversion moyenne. La non-stationnalité en moyenne, c'est-à-dire un niveau non constant, peut être modélisée de différentes façons. Les alternatives les plus courantes sont les tendances déterministes et les tendances stochastiques. Considérons l'extension du théorème de décomposition de Wolds pour les séries non stationnaires donnée par Cramer (1961). Où est un processus stationnaire à moyenne nulle. Le changement de la moyenne d'un processus ou d'une tendance non stationnaire, peut être représenté par une fonction déterministe du temps. Ces modèles pour la tendance impliquent que la tendance en série évolue d'une manière parfaitement prévisible, donc ils sont appelés modèles de tendances déterministes. Par exemple, si la fonction moyenne suit une tendance linéaire, on peut utiliser le modèle de tendance linéaire déterministe: Le paramètre est l'interception c'est la valeur de la tendance au temps et est la pente elle est positive si la tendance est croissante et négative si La tendance est en baisse. Plus la valeur absolue de l'inclinaison des pentes est plus forte. Parfois, la tendance semble non linéaire, ou courbe, comme par exemple lorsqu'une variable augmente à un taux croissant ou décroissant. En fait, il n'est pas nécessaire que les tendances soient linéaires seulement qu'elles soient lisses. Les modèles quadratiques de tendance peuvent potentiellement capturer des non-linéarités telles que celles observées dans certaines séries. Ces tendances sont des fonctions quadratiques par rapport aux fonctions linéaires du temps, les tendances polynomiales d'ordre supérieur sont parfois considérées, mais il est important d'utiliser des polynômes de bas ordre pour maintenir la souplesse. D'autres types de tendances non linéaires qui sont parfois appropriées sont les tendances exponentielles. Si la tendance est caractérisée par une croissance constante à un taux, on peut écrire: La tendance a été modélisée comme une fonction non linéaire (exponentielle) du temps en niveaux, mais dans les logarithmes on a donc la tendance est une fonction linéaire du temps. Cette situation, dans laquelle une tendance apparaît non linéaire en niveaux, mais linéaire en logarithmes, est appelée tendance exponentielle ou logarithmique et est très courante en économie car les variables économiques affichent souvent des taux de croissance à peu près constants. La non-stationnalité dans la moyenne peut être traitée dans la classe des modèles (4.7). Un modèle est non stationnaire si son polynôme ne satisfait pas à la condition de stationnarité, c'est-à-dire si certaines de ses racines ne se trouvent pas en dehors du cercle unitaire. Si le polynôme contient au moins une racine à l'intérieur du cercle unitaire, le comportement d'une réalisation du processus sera explosif. Cependant, ce n'est pas le genre d'évolution qui peut être observée dans les séries économiques et économiques. Bien que beaucoup d'entre eux soient non stationnaires, ces séries se comportent très semblables sauf pour leur différence dans les niveaux moyens locaux. Si l'on veut modéliser l'évolution de la série indépendante de son niveau dans le cadre des modèles, le polynôme doit satisfaire: pour que le polynôme puisse être factorisé comme: Appliquant cette décomposition au modèle général: où est un polynôme d'ordre et. Si est un polynôme stationnaire, on dit qu'il a une racine unitaire autorégressive. Lorsque le polynôme non stationnaire présente plus d'une racine unitaire, par exemple, il peut être décomposé comme: Appliquant de nouveau cette décomposition au modèle général, on obtient: pour un certain où est un polynôme stationnaire d'ordre. En bref, si nous utilisons des processus pour modéliser des séries temporelles non stationnaires, la non-stationnarité conduit à la présence de racines unitaires dans le polynôme autorégressif. En d'autres termes, la série est non stationnaire mais sa série différenciée, pour un entier quelconque, suit un modèle stationnaire et inversible. Un processus avec ces caractéristiques est appelé un processus intégré d'ordre d et il est noté par. On peut noter que l'ordre d'intégration d'un procédé est le nombre de différences nécessaires pour atteindre la stationnarité, c'est-à-dire. Le nombre de racines unitaires présentes dans le processus. Dans la pratique et les processus sont de loin les cas les plus importants pour les séries chronologiques économiques et commerciales, qui se produisent série beaucoup moins fréquemment. Box et Jenkins (1976) se réfèrent à ce type de comportement non stationnaire comme non stationnaire, ce qui indique que le comportement local de ce type de séries est indépendant de son niveau (pour les processus) et de son niveau et de sa pente (pour les processus). En général, si la série est intégrée d'ordre, elle peut être représentée par le modèle suivant: où l'opérateur stationnaire et l'opérateur inversible ne partagent aucun facteur commun. Le modèle homogène non stationnaire résultant (4.19) a été désigné sous le nom de modèle d'ordre de moyenne mobile intégré autorégressif et est désigné par le modèle. Lorsque, l'est aussi appelé le modèle de l'ordre intégré de moyenne mobile et il est dénoté comme le modèle. Quand, le modèle résultant est appelé le modèle Autoregressive Integrated. Afin de mieux comprendre le comportement non stationnaire qu'impliquent les processus intégrés, nous allons étudier avec quelques détails deux des modèles les plus simples: randonnée aléatoire et randonnée aléatoire avec modèles de dérive. Le modèle de marche aléatoire est simplement un coefficient avec: et les statistiques t de l'hypothèse nulle racine unitaire suivent la même distribution que et respectivement. Les valeurs les plus courantes sont zéro et 1 dans les séries économiques et commerciales. C'est pourquoi nous nous sommes concentrés jusqu'à présent sur l'hypothèse nulle d'une racine unitaire contre l'alternative de stationnarité (éventuellement en déviation d'une tendance moyenne ou linéaire). Mais il est possible que la série présente plus d'une racine unitaire. Si l'on veut tester, en général, l'hypothèse selon laquelle une série est contraire à l'alternative, Dickey et Pantula (1987) suggèrent de suivre une procédure séquentielle. Premièrement, nous devrions tester l'hypothèse nulle des racines unitaires contre l'alternative des racines unitaires. Si nous rejetons cette hypothèse, l'hypothèse nulle des racines unitaires doit être testée en fonction de l'alternative des racines unitaires. Enfin, le null d'une racine unitaire est testé contre l'alternative de stationnarité. Le code XEGutsm07.xpl calcule la statistique du FAD pour tester l'hypothèse de racine unitaire pour une série de randonnées aléatoires simulée de taille 1000. La valeur de est -0,93178, qui rejette l'hypothèse nulle au niveau de signification 5. Cette sortie fournit aussi bien les valeurs critiques 1, 5, 10, 90, 95 et 99. On peut observer que les différences entre les distributions de la statistique t classique et sont importantes. Par exemple, en utilisant un niveau de signification de 0,05, la valeur critique est de -2,86 alors que celle de l'approximation normale aux élèves est de -1,96 pour les grands échantillons. Si nous voulons vérifier la stationnarité d'une série temporelle ou une combinaison linéaire de séries temporelles, il serait intéressant de tester directement l'hypothèse nulle de stationnarité. Compte tenu du fait que la méthodologie classique d'essai des hypothèses garantit que l'hypothèse nulle est acceptée à moins qu'il n'y ait de fortes preuves à son encontre, il n'est pas surprenant qu'un bon nombre de travaux empiriques montrent que les tests unitaires-racine standard échouent à rejeter l'hypothèse nulle pour de nombreux Économiques. Par conséquent, en essayant de décider si les données économiques sont stationnaires ou intégrées, il serait utile d'effectuer des tests de l'hypothèse nulle de stationnarité ainsi que des tests de l'hypothèse nulle unité-racine. Kwiatkowski, Phillips, Schmidt et Shin (1992) (KPSS) ont développé un test pour l'hypothèse nulle de stationnarité contre l'alternative de la racine unitaire. Considérons le processus de génération de données suivant: